抽象化への準備

大きな理念の前には小さな常識などたやすく覆るのだ。

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とにかく一般化する

 ラグランジュ形式を使えば、デカルト座標をだろうが、極座標だろうが、他のどんな座標系であろうが、方程式の形が変わらないことを説明した。

 つまり、もう特定の座標系にこだわって議論する必要はないのである。そこで今後は\( x \)とか\( y \)とか\( r \)とか\( \theta \)とかいう特定の記号にはこだわっていないよという態度を示すために、座標の値を\( q_i \)で表して全ての座標をひっくるめた一般的な議論をしてやることにしよう。添え字の\( i \)はその座標の何番目の成分かということを表している。というわけで、この座標\( q_i \)は「一般化座標」と呼ばれている。

 さらにこの「一般化座標」を時間で 1 階微分したものは、「一般化速度」と呼ばれる。

 極座標の場合の第 2 成分である\( \theta \)の時間微分などは、本当は「速度」などではなく「角速度」であって物理的な次元が異なっているのだが、一般的な議論が出来るという利点のためにはそんな些細なことを気にしていちゃあいけないのだ。

 これらを使えば、前に出てきたラグランジュの方程式は

\[ \begin{align*} \dif{}{t} \pdif{L}{\dot{q}_{i}} - \pdif{L}{q_{i}} = 0 \end{align*} \]
のように書けることになる。さらに、
\[ \begin{align*} p_i &= \pdif{L}{v_i} \\ F_i &= \pdif{L}{x_i} \end{align*} \]
という関係があったことを思い出そう。これらの式も一般化座標を使って書き直してやれば、
\[ \begin{align*} p_i &= \pdif{L}{\dot{q}_i} \\ F_i &= \pdif{L}{q_{i}} \end{align*} \]
という形式になるが、この時の左辺の\( p_i \)を「一般化運動量」、\( F_i \)を「一般化力」と呼ぶ、と定義してやるのだ。これらはデカルト座標では確かに、運動量や力を表しているが、別の座標系でどんな量を表すことになるかは知ったことではない。とにかく形式的に同じように書けるのだからそう呼ぶことにするのだ。

 これらの定義をラグランジュ方程式に代入してやれば、一般化運動量の時間微分が一般化力になっていることが分かるだろう。

\[ \begin{align*} \dot{p}_i\ =\ F_i \end{align*} \]


とにかく次元を増やす

 さらなる概念の拡張をしてやろう。これまで 1 つの粒子の運動について考えてきた。そしてその次元はせいぜい 3 次元までだった。だから連立する方程式の数はせいぜい 3 つで良かった。

 ここでもし 2 粒子の運動を考えたければ式を 6 つにして連立方程式を解いてやればいいだけのことだ。この 6 つの式は、ラグランジュの形式で書かれている場合にはすべて同じ形になっている。そこでだ!これを 6 次元空間の中を進む 1 粒子の運動であると解釈してやるのだ。いや、6 次元空間などというものは全く仮想的な概念に過ぎないわけだが、次元を増やしてやることで 2 粒子の問題を、1 粒子の問題を解く時と同じやり方で扱えるということだ。

 もし\( N \)個の粒子の運動を解きたければ\( 3N \)個の運動方程式を連立させて解いてやればよいわけで、これは\( 3N \)次元空間の中を進む 1 粒子の問題を解くのと同じだということだ。

 今後は一般的な話をするために、\( N \)個の粒子の運動を考えることが多くなるが、この時、わざわざ粒子を区別しないで\( 3N \)個の成分を同等に扱うことにする。一般化座標も、一般化運動量も、ラグランジュ方程式も\( 3N \)個の成分が存在すると考えるのである。

 一般化座標の各成分を添え字\( i \)を使って表すようにしたのはこのようにして多粒子系を扱うための布石でもあったわけだ。これからは特に断らない限り\( i = 1, 2, 3 \)ではなく、\( i = 1 \sim 3N \)であると考えてもらいたい。