解析力学とは何か

予備知識(偏見とも言う)を授けておこう。

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解析力学とは何か?

 私は物事の抽象化が嫌いである。形式を重んじる余り、何か本質から離れていっているような気がするからである。私には解析力学はまさにそういう作業をやっているように思えるのだが、本当に本質から離れていっているかどうかは分からない。解析力学は力学体系の構造そのものを学ぶ学問であり、ひょっとして理論の構造そのものが宇宙の本質を表している可能性だって否定できないのだ。

 解析力学は、通常のニュートン力学の内容をより一般的に、より美しく表現できないかということを追求した学問であると言える。我々は最も単純な座標系として\( ( x, y, z ) \)を使ったデカルト座標を使うことが多く、ニュートンの運動方程式や電磁気学のマクスウェルの方程式などはこの座標系を基礎にして書かれている。

 これらの方程式は極座標\( ( r, \theta, \phi ) \)などの他の座標系に変換してやるとその形式が全く変わってしまうのだが、もしこれがどんな座標系を使った場合にも同じ形式で表せる方法があるとしたらそれはとても便利で美しいとは思わないだろうか。いや、便利であるか美しいかどうかは見てみないと分からないが、もしそういう形式があるならそれがどんなものかちょっと見てみたい気はするだろう。

 解析力学は複雑な力学の問題をなるべく簡単に解けるようにするための方法論であるとも言えて、

ラグランジアンを導入。

ルジャンドル変換と言う数学テクニックで
ハミルトン形式に変形。

正準変換で解き易い形に変形。

楽に解けました。めでたしめでたし。

という流れの計算テクニックを体系化したものだと思えばよい。こう考えておけば解析力学の全体像を掴み易いのではないだろうか?