ローレンツ力

「ろーれんつか」と読んじゃだめだよ。

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電流間に働く力

 前回は電流によって磁場が発生するという話であったが、今回は逆にその磁場によって電流が力を受けるという話をする。

 平行に流れる2つの電流の間には引力が働き、その単位長さあたりにかかる力の大きさは

\[ \begin{align*} |\Vec{F}| = \frac{\mu\sub{0}}{2\pi} \frac{I\sub{1} I\sub{2}}{R} \end{align*} \]
と表される。これは実験事実である。ちなみに逆方向に流れる電流の間には斥力が働く。しかし、すでに我々は電流の周りには磁場が発生しているという考えを使っているので、これは電流と電流の間に直接力が働くのではなく、一方の電流が作った磁場によってもう一方の電流が力を受けるのだと考えることにしよう。実際、上の式を見れば、電流の周りに発生する磁場に電流の大きさが掛かっている形になっている。簡単に書けば、
\[ \begin{align*} |\Vec{F}| = I |\Vec{B}| \end{align*} \]
だということである。これを力の向きも考えて式で表せば、
\[ \begin{align*} \diff \Vec{F} = I \diff \Vec{s} \times \Vec{B} \end{align*} \]
と表せる。ただし外積を使うための工夫として電流の微小長さのベクトル\( \diff \Vec{s} \)を導入し、その部分にかかる力を\( \diff \Vec{F} \)と表現した。これが電流が磁場から受ける力を表す式であり、「アンペールの力」と呼ばれている。


電流の定義

 先ほど2つの電流の間に働く力が実験事実として上のように表されると書いたが、まだ定数\( \mu\sub{0} \)の大きさを決めていなかった。そこでこの式が成り立つように定数を決めなくてはならない。普通は実験で決めるところなのだがここではそうはしない。なぜなら電流の単位がまだ決まっていないからである。ちょうど良いので定数\( \mu\sub{0} \)がキリのいい数字になるように電流の単位の方を決めてやることにしたのである。定数\( \mu\sub{0} \)は好きなように決めてやればいいのだ。どうせなら便利な方が良いに決まっている。

 そこで、\( \mu\sub{0} = 4\pi \times 10^{-7} \)であると決めることにした。このように決めておけば分母にある\( 2\pi \)と打ち消しあって計算が非常に楽になるし、ビオ・サバールの法則の場合には分母が\( 4\pi \)であるので係数の部分は\( 10^{-7} \)だけになる。もし電流の大きさを決めるための精密な測定をする際に力の大きさを無理数に合わせなければならないとしたらかなり面倒なことになるのでこうやって\( \pi \)を消してやるのはかなりうまい方法である。定数をこの値に決めるためには、次のような言葉で電流を定義してやればよいことになる。

 1 A の定義
1 m 離して置いた同じ大きさの平行に流れる電流の間に働く力が 1 m あたり\( 2 \times 10^{-7} \) N であるとき、この電流の大きさを 1 A とする。

 ではなぜ\( 10^{-7} \)にしたのであろうか?もし 1 m 離して置いた電流の間に働く力が 1 N であるときの電流を 1 A だということにしたらもっと計算が楽になったかも知れない。しかし 1 N というのは電線にとってはかなりの力である。これでは測定しようとしている電線が吹っ飛んでしまうことだろう。しかもそのような力を及ぼし合うような大電流を流せばあっという間に電線は焼き切れてしまう。これでは直接 1 A を測定することが難しい。直接測れた方が誤差が入り込む可能性が少ないのだ。それで電線が焼ききれるほど大き過ぎず、かと言って力を測定するのに小さ過ぎない値を選ぶ必要があったのだろうと思われる。


磁場の単位

 電流の単位が定義されたので、これをもとに磁場の単位を決めることが出来る。すぐ上に出てきたアンペールの力を使って考えるのが一番楽である。つまり、1 A の電流が磁場から 1 m あたり 1 N の力を受けるとき、この磁場を 1 テスラと呼ぶことにする。このことから考えると 1 テスラというのはかなり強い磁場であることが分かる。「ピップ・エレキバン」のCMで使われている 1300 ガウスというのは実は 0.13 テスラに相当するのだが、このガウスという単位は法律によりすでに数年前に廃止されている。これからは正式にテスラを使うようにとのことである。


ローレンツ力

 さて、これで磁場と電流に関わる法則を一通り説明できたので、ここでようやく現代的な解釈を持ち出すことにしよう。電流というのは我々の常識では電荷の流れである。よって電流が磁場から受ける力というのは、実は運動する電荷が磁場から受ける力であると考えて式が作れるはずだ。

 電荷というのは電流から定義されており、電流が 1 A の時に 1 秒間に通過する電荷を 1 クーロンとしている。電子1個の電荷を\( q \)クーロンだとして、これが 1 m あたり\( n \)個の密度で存在していたとすると、1 m あたり\( q n \)クーロンの電荷が存在していることになる。これに電荷の速度\( v \)をかければ 1 秒間に通過する電荷量を表すことが出来て、\( I = q n v \)と表せる。これを上のアンペールの力の式に代入しよう。

\[ \begin{align*} \diff \Vec{F} = qnv \diff \Vec{s} \times \Vec{B} \end{align*} \]
 ここで電荷の密度\( n \)と微小長さ\( \diff s \)を掛け合わせた量は微小長さあたりに存在する電子の個数であるのでこれを\( N \)と書くことにする。そうすると今まで微小長さのベクトルを表していた\( \diff \Vec{s} \)がなくなってしまうので、代わりに速度\( v \)をベクトル\( \Vec{v} \)として表現しよう。電流の微小長さのベクトルと電荷の流れの速度は同じ方向なのでこのようにして問題ない。
\[ \begin{align*} \diff \Vec{F} = qN \Vec{v} \times \Vec{B} \end{align*} \]
 ところでこの式の意味するものは電流の微小長さ\( \diff s \)あたりにかかる力の大きさであったが、微小長さ\( \diff s \)内には\( N \)個の電子が存在するのであった。そこでこれを\( N \)で割ってやることで電子 1 個が受ける力を表すことが出来る。

 つまり、電荷\( q \)を持つ 1 つの粒子が磁場中を運動する時に受ける力は次のように表される。

\[ \begin{align*} \Vec{F} = q\ \Vec{v} \times \Vec{B} \end{align*} \]
 これが高校物理で習う「ローレンツ力」を外積を使ってかっこよくベクトルで表現したものである。

 これの簡易版を高校でいきなり習うことに文句をつけるつもりは無い。現代ではわざわざ電流に働く力から間接的に導かなくとも、電子線などを使ってほとんど直接的にこの法則を実証できるようになっているからだ。ここではアンペールの力との関連性をはっきりさせるためにやってみただけのことである。

 この力については奥が深いのでこの後でも何度か出てくることになるだろう。電磁気学だけでなく、相対論でも論じられることになる。