行列式を微分する公式

 

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 これは相対論の「リッチ・テンソル」の記事の中で使った公式を説明するために用意したページである。

 その公式とは、ある行列\( A \)について、次の計算が成り立つというものである。

\[ \begin{align*} \pdif{|A|}{x}\ =\ |A| \sum_{i,j} b_{ji} \pdif{a_{ij}}{x} \end{align*} \]
 ただし\( |A| \)は行列\( A \)の行列式、\( a_{ij} \)は行列\( A \)の成分、\( b_{ij} \)は行列\( A \)の逆行列\( B \)の成分であるとする。

 「リッチテンソル」の記事中ではこの公式を\( g_{ij} \)を使って表していたが、ここでは行列としてわざわざ\( A \)\( B \)などの線形代数でよく見られる書き方を採用した。これは一旦考えを相対論とは切り離してもらいたいからである。よってアインシュタインの省略記法もやめてわざわざ和の記号を使ってみた。

 行列が出てくる辺りは線形代数の範囲の話のように見えるが、成分同士の積について和を取っている部分に注目すると、線形代数でよく見られるような行列どうしの積を表す形式にはなっておらず、ちょっと珍しい。


 話を続けるには、線形代数の復習が少々必要であろう。

 必要なことだけ書くが、\( a_{ij} \)の余因子行列\( Y \)の成分\( y_{ij} \)

\[ \begin{align*} y_{ij}\ =\ |A| b_{ij} \end{align*} \]
と表すことも出来る。さて、余因子展開という技があって、ある行列\( A \)全体の行列式\( |A| \)を知りたいときには、どれか一つの行、または列のみを選んで、その行または列に含まれる成分\( a_{ij} \)と、同じ位置の余因子の成分\( y_{ji} \)を掛け合わせたものの和をとってやればいいのだった。(\( a_{ij} \)の余因子は余因子行列を作るときに転置されるので、\( y_{ji} \)がそれに相当する。)例えばある\( i \)行を選んだとすると、
\[ \begin{align*} |A|\ =\ \sum_j (a_{ij} y_{ji}) \end{align*} \]
と書けるというわけだ。このことから\( |A| \)\( a_{ij} \)で偏微分してやれば、
\[ \begin{align*} \pdif{|A|}{a_{ij}}\ =\ y_{ji}\ =\ |A| b_{ji} \end{align*} \]
となることが言える。ここでテンソル解析的な考えを持ってくる。ここから先はアインシュタインの省略記法も使うことにしよう。両辺に\( \pdifline{a_{ij}}{x} \)を掛けて縮約してやると、
\[ \begin{align*} \pdif{|A|}{a_{ij}} \pdif{a_{ij}}{x}\ &=\ |A| b_{ji} \pdif{a_{ij}}{x} \\ \therefore \ \pdif{|A|}{x}\ &=\ |A| b_{ji} \pdif{a_{ij}}{x} \end{align*} \]
となるだろう。右辺では和の記号を省略してあるだけだから、これは冒頭で示した式と同じ意味である。以上で証明終わり。

 ここで計量テンソル\( g_{ij} \)を行列\( A \)の代わりに当てはめることにする。\( g_{ij} \)の逆行列は\( g^{ij} \)であること、\( g^{ij} \)は対称行列であることを使えば、

\[ \begin{align*} \pdif{g}{x}\ =\ g\ g^{ij} \pdif{g_{ij}}{x} \end{align*} \]
と書ける。ただし行列式\( |g| \)をただの\( g \)と表現した。「リッチ・テンソル」の記事中で使ったのはこの式だ。