物理数学：交換関係の秘密

何度も交換関係が出てくるのはなぜだろう

ここまでやってきた回転変換もユニタリ変換も,エルミート行列を使ってことごとく $e^{iH}$ という形式に表せるというのは見ていて気持ちいい.しかしそうなる仕組みについてはすでに最初の方に書いた「ユニタリ行列の性質」のところで説明したのだった.回転行列もユニタリ行列の一種だからこれに当てはまるわけだ.

まだ説明していないのは,いつも交換関係が出てくるという不思議についてだ.変換群の要素を $e^{iH}$ と書いた時のエルミート行列を,その自由なパラメータ θ_k によって分解して, としたとき,行列 T_k のことを生成子と呼び,生成子どうしの間には何故かという関係が成り立っているのである.ここまでにやってきた範囲では Σ_c というのは必要なかった. T_k は最大でも 3 つしかなかったし,SO(2) では一つしかなかったのでそもそも交換関係が作れなかった.しかしもっと次元が上がると自由度が増えて, T_k の数がぐんと増えるので,一般的に成り立つためにはこのように表記することが必要になってくる.

今回は,この関係が成り立つ理由と $f_{abc}$ の性質について説明しよう. $f_{abc}$ のことを「構造定数」と呼ぶ.

ユニタリ群ならば交換関係が成り立つ

微小なパラメーターを,生成子の一つを T_k とする. $e^{iεT_k}$ というのはユニタリ群の要素であり,群の要素どうしの積もまた同じ群の要素なのだから, という式が成り立っているべきである.かなり恣意的な式ではあるが,証明とはそんなものだ.を微小量と限定したり,いつも頻繁に使うわけではないような積の計算例を考えたりしてはいるものの,群である以上,たとえこのようなことをしようとも,少なくともこの関係は必ず成り立っていなければならないと言えるだろう.

この左辺を変形していこう.指数関数の肩に行列を載せるという表記は特別な決まりなので,普通の指数関数の公式がそのまま成り立っているという保証はない. $e^{iε(T_b +T_a -T_b -T_a)} =e^{0}=1$ とは出来ないのだ.一つ一つテイラー展開の形に分解して,行列の積の順序を変えないように気を付けながら計算していくべきだろう.変形途中に現れる ε^3 以上を含む項はことごとく無視していく. 一方,右辺の肩に乗っているも微小であり, $e^{iH}≒1+iH$ であることから, が成り立っている.は生成子に実数パラメータを掛けて足し合わせた組み合わせで表現できるものであるから,というか,生成子というのはをそのようになるように分解して作ったものであったのだから, が成り立っていると言える.

交換関係が成り立っていれば群になっている

少し物足りないので今の話の逆も証明しておこうと思ったのだが,どうやら簡単ではないようである.(1) 式のような交換関係が成り立っていれば, となることが言えて, $e^{iΣ{a}θ_a T_a}$ が群になっているというのを示したかったのである.どうやらきちんとやろうとすれば「キャンベル・ハウスドルフの公式」というものの助けを借りる必要があるらしい.その簡易版なら割と楽に示せるのだが,厳密に導くのは難しそうだ.

ユニタリ行列に限定すれば間接的には成り立っていそうだというのはここまでの話で分かると思うし,ここで無理して厳密に証明しても今後の話にあまり関係がなさそうなので,これについては諦めることにしよう.

構造定数の性質

構造定数 $f_{abc}$ にはどんな性質があるだろうか？添字との入れ替えに対しては反対称であることがすぐに分かるだろう. とを入れ替えるということは (1) 式の左辺の交換子の中身が入れ替わって,左辺全体の符号が変わるのに等しいからである.

この他には何か特別な関係が見いだせないだろうか？例えば,次のようなことを考えてみよう.交換関係を組み合わせると次のような公式が作れる. これは「ヤコビの恒等式」と呼ばれており,どんな場合にでも成り立つものである.展開してやれば,簡単に確かめることができる.この,,のところに 3 つの生成子を放り込んでやっても成り立つだろう. ここに (1) 式を当てはめてやり,次のような変形ができる. 最後の行で, T_e どうしが独立であることを使った.つまり多数の行列 T_e のどれ一つとしてそれ以外の行列の線形和で作ることのできないものであるから,添字についての和を取らなくても,その一つ一つの項で 0 になっているべきだと判断したのである.

こうして構造定数 $f_{abc}$ が満たすべき条件が求まったわけだが,果たして使い道があるのかどうか分からないほどややこしい式である.もう少し分かりやすく整理できないものだろうか？

(2) 式の条件を使って (3) 式を少し書き換えてやる. ここで $f_{abc}$ を行列 S_a の (b,c) 成分にを掛けたものだと解釈してやる. これを使って一部を書き換えると次のようになる. について和を取る部分は行列の積の計算と同じだ.それで次のように書き換えられる. こうして両辺とも,行列の (c,e) 成分についての等式となる.つまり,行列 S_k についての次のような関係式が再現される. なんと,(1) 式と同じではないか.堂々巡りをしているようでもあるのだが,そうではない.つまり, $f_{abc}$ が決まっていれば,(4) 式を使って行列 S_k を作ることが出来て,その行列は (1) 式を満たしているというのである. S_k は生成子の数と同じ次数の行列となるだろう.この S_k を「随伴表現」と呼ぶ.

SO(3) や SU(2) は生成子が 3 つあるので,随伴表現は 3 次の行列である.SU(2) の生成子は 2 次であったにもかかわらずだ.

あとで出てくる SU(3) では 3 次のユニタリ行列の群なので生成子も 3 次になるだろうが,自由度が 8 つあるので生成子は 8 個でてくることになる.よって随伴表現は 8 次の行列で表されることになるのだろう.

SU(2) と SO(3) の違いがどこにあるのかを探したいと思っているのだが,構造定数を考えてみても違いは見出せないようだ.