重力場の方程式へ

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一般相対論の原理

 さあ、いよいよ仕上げである。ここまでの知識を使って、物質の存在と重力の起源を結び付ける方程式を組み立てよう。その前に一般相対論が拠り所とする原理について少し確認しておきたい事がある。

 まず一般相対性理論の基本的な理念は、「一般相対性原理」と呼ばれるものであり、「慣性系に限らず、あらゆる座標系は同等である」というものである。つまり物理法則はあらゆる座標変換に対して形式が変わらない形で表されるべきだと主張している。

 これは式の両辺をテンソルで表してやれば実現できる。

 一般相対性理論のもうひとつの柱は「等価原理」と呼ばれるものであるが、これは「座標変換をうまく選べば、ある一点の近くでは無重力だとみなせて、特殊相対論が成り立っている」というものである。これについてはすでに「局所直線座標系」の記事で説明したように、リーマン幾何学を使うことでこの思想が実現している。

 このように一般相対論ではもはや「光速度一定」であることは重要視されていない。無重力だと見なせる特別な座標系を選んだ時に特殊相対論が実現していればそれでいいのである。

 確認は以上である。つまりあとは式の両辺がテンソルである事さえ徹底すれば原理に忠実でいられるということだ。


組み立て開始

 前回話したように、ニュートン力学での重力場の源は「質量密度\( \rho \)」であった。特殊相対論では質量とエネルギーが等価であることが導かれたので、重力の源は「エネルギー密度」だと言い換えても良いだろう。しかしエネルギー密度は単独ではテンソルではないから、式の中に持ち込むとしたら、運動量密度などと一緒にした「エネルギー運動量テンソル」を使うべきであろう。それで、これを重力場の方程式の右辺に持ってくることにする。これはつまり「重力場の源は質量である」と考えていた古い形式を拡張して、「重力場の源はエネルギー運動量テンソルである」という考えを新しく採用することを意味する。

 右辺のエネルギー運動量テンソルが 2 階の反変テンソルなのだから、左辺も同じ形式のテンソルになるべきだろう。仮に\( X^{ij} \)とでも書いておこう。

\[ \begin{align*} X^{ij} = T^{ij} \end{align*} \]
 ところで「エネルギー運動量テンソル」は次の関係を満たしていた。
\[ \begin{align*} \partial_i T^{ij} = 0 \end{align*} \]
 これはエネルギー保存、運動量保存の式である。これは平らな時空を前提に導いた式なのだった。リーマン幾何学で学んだように、テンソルをただ微分したものはテンソルではない。ではこの式が時空が曲がっていても使えるようにしてやるにはどうすれば良いかと言うと、すでに良く分かっているだろう。
\[ \begin{align*} \nabla_i T^{ij} = 0 \end{align*} \]
と拡張してやればよい。そうなると左辺の\( X^{ij} \)を共変微分したものも同じように 0 にならなければいけないはずだ。
\[ \begin{align*} \nabla_i X^{ij} = 0 \end{align*} \]
 そんな性質を持った量\( X^{ij} \)がそうそう都合よく見付かるはずが・・・いや、あったよ!!前に出てきたアインシュタイン・テンソルだ。しかしこれをそのまま使ったのでは次元が合わないので、係数\( k \)を付けて調整してやることにする。
\[ \begin{align*} G^{ij}\ =\ k\ T^{ij} \end{align*} \]
 これが相対論における「重力場の方程式」すなわち「アインシュタイン方程式」である。何とあっけなく導かれてしまったことか。


宇宙項

 ここでアインシュタインは少し迷った。この式に次のようなもう一つの項を付け足しても両辺はやはりテンソルであることに変わりない。
\[ \begin{align*} G^{ij}\ +\ \lambda g^{ij} \ =\ k\ T^{ij} \end{align*} \]
 しかも、この追加項の共変微分を取ってやれば計量条件でちゃんと 0 になるのである。物理的意味はよく分からないのだが、これを加えたとしても最初の仮定は何一つ破られる事はない。むしろこの方が数学的には完璧だ。しかしそんなことをしていいのだろうか。わけの分からない量は入れない方がいい。自然はシンプルに出来ているはずだし、法則はシンプルな方がより美しい。

 彼は当時、宇宙が無限に広がっているわけではないと考え、まるで球の表面のように境界条件の必要ない「閉じた宇宙」をイメージしていたのだった。その宇宙の姿が本当にこの式に合うのだろうかと、試しに物質分布に動きのない状態を仮定して計算してみたところ、この項の助けなしにはそれが成り立たない事が分かった。それで彼はこの項を「宇宙項」と名付け、式に加える事にした。また係数 λ は「宇宙定数」と呼ばれた。この考えを発表したのは一般相対論発表の 2 年後 (1917) のことだった。

 その後、この宇宙項が物理的にどんな意味を持つのかが他の科学者たちによって指摘され始めた。これは宇宙を膨張させる斥力のような意味を持つのである。そしてアインシュタインの提案したモデルでは、宇宙はちょっとしたバランスの差ですぐに収縮か膨張かに傾いてしまい、同じ状態を安定して保てないことも分かってきた。

 さらに 12 年後の 1929 年、ハッブルが望遠鏡による観測によって宇宙が膨張している証拠を見つけた時、その観測結果はわざわざ宇宙項を導入しなくても説明できる程度のものだということが明らかになってきた。その結果、宇宙項は必要なかったものとして捨てられることになったのである。それでアインシュタインは言った。「宇宙項を入れたのは人生最大の過ちだった。」彼がこの言葉をどの程度本気で言ったのかは分からない。「自然は単純である」という自分の信念を無理に捻じ曲げたことへの悔恨の意味を含めた言葉だったのだろうか。この観測結果を自然からの手痛い仕返しであると受け止めたに違いない。宇宙項の導入をそれほど深く悩んで決めたのだということを察することが出来る話だ。

:啓蒙書などではここに書いたのとは違った、もっとドラマチックで分かり易いストーリーが書かれていることが多くて、私も長いことそちらの方を信じてしまっていた。
それは次のような話だ。アインシュタインは宇宙項を入れなければ宇宙が安定に保てないことに気付き、定常宇宙説を擁護するために仕方なく宇宙項を導入した。ところがやがてハッブルが宇宙が膨張していることを発見して定常宇宙説が否定されてしまう結果となった。それで彼は、余計な事をするんじゃなかった・・・数式から導かれる結果を素直に信じれば良かった、と、宇宙項を導入してしまったことを心の底から後悔した。・・・というものだ。
大衆向けには本当にいい加減な話がまかり通っているものだ。私も加担してしまっていたわけだが。
参考サイト:「アインシュタインはなぜ宇宙項を導入したか?

 ところで最新の宇宙論では、宇宙の膨張速度の変化を説明するために、やっぱりこの項が必要だということになっている。宇宙定数は非常に非常に小さな値ではあるが、この項なしにはうまく行かないようなのだ。人の持つ信念というものはそれが特別に強かろうがあまり根拠にはならず、意外と脆いものだということかも知れない。今後の話では最新の宇宙論のことは無視して宇宙項は省略してしまおう。ここで扱うには複雑すぎる。それで、あと気になるのは係数\( k \)の値がどう決められるかという点だけである。


係数の値を決める

 さて、前回の最後に画策した事がきちんと成り立っているかどうかを確かめておかないといけない。すなわち、アインシュタイン方程式はニュートン的極限においてポアッソンの方程式を正しく再現するかどうかだ。とりあえず、計量の 2 階微分を含まなくてはならないという基本的な条件は満たしているようだが、本当にそれでうまく行っているだろうか。

 まず右辺の「エネルギー運動量テンソル」だがその中身は

\[ \begin{align*} T^{ij}\ =\ \rho c^2 u^i u^j \end{align*} \]
であった。ニュートン近似では\( u\sup{0} \)だけが 1 で、それ以外は 0 だと考えるのだったから、
\[ \begin{align*} T\sup{00}\ =\ \rho c^2 \end{align*} \]
以外は全て 0 だということになる。いきなり大幅に簡略化できてしまった。左辺の変形もすんなり行くことを期待したい。

 アインシュタインテンソル\( G^{ij} \)はリッチテンソルの組み合わせから出来ているからそこから考えたらいいだろうか。

\[ \begin{align*} R_{ij}\ &=\ R^k_{\ i,kj} \\ &=\ \pdif{\cris{k}{ij}}{x^k} - \pdif{\cris{k}{ik}}{x^j} + \cris{m}{ij}\cris{k}{mk} - \cris{m}{ik}\cris{k}{mj} \tag{1} \end{align*} \]
 いや、クリストッフェル記号から考えた方が良さそうだ。
\[ \begin{align*} \cris{k}{ij}\ =\ \frac{1}{2} g^{kt}\left( \pdif{g_{tj}}{x^i} + \pdif{g_{ti}}{x^j} - \pdif{g_{ij}}{x^t} \right) \end{align*} \]
 この式に\( g_{ij} = \eta_{ij} + h_{ij} \)を代入して、\( h_{ij} \)が 2 次以上になった項は消してやる。とは言ってもわざわざ展開して確かめるまでもない。カッコの中はみんな微分なので、定数である\( \eta_{ij} \)の微分は消えてしまう。つまりカッコの中はすべて\( h_{ij} \)の微分であり、どの項もすでに\( h_{ij} \)の 1 次である。これにカッコの外から\( g^{kt} = \eta^{kt} + h^{kt} \)を掛けようというのだが、\( h^{kt} \)を掛けても 2 次になって消されてしまうだけなので、\( \eta^{kt} \)を掛けた項だけを考えればいい。
\[ \begin{align*} \cris{k}{ij}\ \kinji \ \frac{1}{2} \eta^{kt} \left( \pdif{h_{tj}}{x^i} + \pdif{h_{ti}}{x^j} - \pdif{h_{ij}}{x^t} \right) \end{align*} \]
 この式を (1) 式に代入すると後ろ 2 つの項は\( h \)の 2 次になってしまうから無視。残るのは初めの 2 つの項のみである。
\[ \begin{align*} R_{ij}\ &\kinji \ \pdif{\cris{k}{ij}}{x^k} - \pdif{\cris{k}{ik}}{x^j} \\ &=\ \frac{1}{2} \eta^{kt} \left( \henbibun{h_{tj}}{x^k}{x^i} - \henbibun{h_{ij}}{x^k}{x^t} - \henbibun{h_{tk}}{x^j}{x^i} + \henbibun{h_{ik}}{x^j}{x^t} \right) \end{align*} \]
 さて、ここからどうしたらいいだろうか。リッチスカラー\( R \)を計算するにはこれに計量を掛けながらあらゆる組み合わせを足し合わせなくてはならないので計算量が膨大になってしまう。エレガントなテクニックよりも馬鹿正直なやり方を愛する私だが、これでは逆に難しい印象を与えてしまって利点がない。

 それで、リッチスカラーを計算しなくて済む方法を経由しよう。第 4 部で重力場の方程式を簡略化する方法を紹介したが、アインシュタイン方程式、

\[ \begin{align*} R^{ij} - \frac{1}{2}g^{ij} R \ =\ k T^{ij} \end{align*} \]
は、
\[ \begin{align*} R_{ij}\ =\ k\left( T_{ij} - \frac{1}{2} g_{ij} T \right) \tag{2} \end{align*} \]
という等価な形に変形できるのだった。右辺の\( T \)\( T = g_{ij} T^{ij} \)という意味であるが、今の状況では\( T\sup{00} \)以外は 0 だと考えるので計算は楽である。少し後でやろう。

 さて、ニュートン近似では\( h\sub{00} = - \frac{2}{c^2} \phi \)という関係になっているのだった。つまり今興味があるのは\( h\sub{00} \)の振る舞いだけである。ということで\( R\sub{00} \)さえ計算してやればいいことになる。他の\( R_{ij} \)の成分を計算しても\( h\sub{00} \)は残らないからである。

\[ \begin{align*} R\sub{00} \ &\kinji\ \frac{1}{2} \eta^{kt} \left( \henbibun{h_{t0}}{x^k}{x\sup{0}} - \henbibun{h\sub{00}}{x^k}{x^t} - \henbibun{h_{tk}}{x\sup{0}}{x\sup{0}} + \henbibun{h_{0k}}{x\sup{0}}{x^t} \right) \\ &=\ \frac{1}{2} \eta^{kt} \left( - \henbibun{h\sub{00}}{x^k}{x^t} \right) \\ &=\ - \frac{1}{2} \eta^{kt} \partial_k \partial_t h\sub{00} \\ &=\ - \frac{1}{2} \partial^t \partial_t h\sub{00} \\ &=\ - \frac{1}{2} (-\partial\sup{0} \partial\sub{0} + \nabla^2) h\sub{00} \\ &=\ - \frac{1}{2} \nabla^2 h\sub{00} \end{align*} \]
 一方、(2) 式の右辺の 00 成分は
\[ \begin{align*} & k \left( T\sub{00} - \frac{1}{2} g\sub{00} g\sub{00} T\sup{00} \right) \\ \ =\ &k \left\{ c^2\rho - \frac{1}{2} (\eta\sub{00} + h\sub{00})(\eta\sub{00} + h\sub{00}) c^2 \rho \right\} \\ \ =\ &k \left\{ c^2\rho - \frac{1}{2} (-1 + h\sub{00})(-1 + h\sub{00}) c^2 \rho \right\} \\ \ \kinji \ &k \left( c^2\rho - \frac{1}{2}c^2\rho + h\sub{00} c^2\rho \right) \\ \ = &\frac{1}{2} kc^2\rho\ +\ kc^2\rho h\sub{00} \end{align*} \]
となり、両辺を一緒にすると、
\[ \begin{align*} -\frac{1}{2} \nabla^2 h\sub{00}\ \kinji \ \frac{1}{2} kc^2 \rho \end{align*} \]
となる。右辺の第 2 項は無視した。この\( h\sub{00} \)\( \phi \)に直してやると、
\[ \begin{align*} &-\nabla^2 \left( -\frac{2}{c^2}\phi \right) \ =\ kc^2\rho \\ \therefore \ &\nabla^2 \phi\ =\ k \frac{c^4}{2} \rho \end{align*} \]
となり、これはポアッソンの方程式
\[ \begin{align*} \nabla^2 \phi\ =\ 4\pi G \rho \end{align*} \]
と同じ形である。もし係数\( k \)が、
\[ \begin{align*} k\ =\ \frac{8\pi G}{c^4} \end{align*} \]
であれば全く同一のものであるとさえ言える。アインシュタイン方程式はニュートン的極限で、我々が良く知っている形の重力場を実現するのである。これですべてが満足のゆく形にまとまった。

 しかし理論的に式を導いただけで喜んで受け入れてしまってはだめで、これが現実の自然を正しく表しているかどうかを検証する事が科学ではとても大事な事である。

 私は相対論の応用にはまるで興味はなかったのだが、読者に科学の精神を伝えるためにも、基本的なことだけは確認しておかないといけないと思うようになった。

 次の第 6 部でそれを行おう。