物理を解説 ♪
ツイッター用のシェアボタン フェイスブック用のシェアボタン はてなブックマーク用のシェアボタン ライン用のシェアボタン
ツイッター用のシェアボタン フェイスブック用のシェアボタン はてなブックマーク用のシェアボタン ライン用のシェアボタン

ハミルトン形式にも使える

当然のことなんだけどね。
作成:2003/3/19

正準変換の準備

ここまで,変分原理からラグランジュ方程式を導けることを見てきた.しかしそれだけではなく,同じ原理からハミルトンの正準方程式を導くことも出来ることを示そう.

これは大して本質的な話ではないので説明を省いてしまおうかとも思ったくらいなのだが,こういうことも出来るのだということは知っておくべきだし,何より,次の正準変換の説明を簡単に済ませるための道具として大変役立つのである.


正準方程式を導く

ラグランジュ方程式は次のように表される作用Iが停留点を取るという条件から求められたのだった. 数式 これをハミルトン形式の表現に書き換えるには,第 2 部の「ハミルトニアン」の記事中でも出てきた 数式 という関係式を使って 数式 と書き直して,これに変分原理を使ってやればいい.

すなわち以前やったように,初状態 A と終状態 B を決めてやって,その途中で運動量p_i(t)と座標q_i(t)が実際にたどる経路からの僅かな変化をδp_iδq_iで表してやる.これらには,やはり以前と同じように次のような条件が付けられている. 数式 これによるIの変化δIを計算するわけだが,その為には,(2) 式の積分内にある,(Σ_i p_i \dot{q}_i -H)の微小変化δ(Σ_i p_i \dot{q}_i -H)を計算してやらないといけない.しかしそんなに困ることはなくて,少し前の話に出てきたように,普通の微分のように計算してやればいいのである. 数式 よって, 数式 となるのであるが,これをδp_iδq_iでくくり出してやりたい.δp_iについてはこのままでも問題ないのだが,積分内の第 1 項目のδq_iにはドットがついているのでこのままではまとめられない.この解決法も以前と同じであって,部分積分を使って 数式 のように変形してしまえば,初めに課しておいた条件によって第 1 項が消えて, 数式 となる.こうして, 数式 のようにまとめることが出来る.ここで,δI/δp_i =0,δI/δq_i =0が成り立つには,それぞれの括弧内が 0 であることが必要であって,これはハミルトンの正準方程式そのものである,というわけだ.


騙されてはいけない

ラグランジュ形式の方程式もハミルトン形式の方程式も,変分原理という統一的な表現だけから導けてしまうというので,ちょっとした感動を覚えるかもしれない.実際にこの理由によってこれが力学の根本的な原理だと広く認められるに至っている.

しかし,ラグランジュ形式からハミルトン形式への移行の本質はルジャンドル変換にあり,ルジャンドル変換の本質は (1) 式による変換にあるのであった.

変分原理からラグランジュ方程式を導けたわけだから,これに (1) 式を当てはめさえすれば,正準方程式が導かれてくるのはある意味,当然なのではなかろうかこの変形自体は変分原理とは関係ないわけだし.

数学の見かけの美しさに惑わされるべきではない.しかしうまく使ってやれば非常に役立つ概念ではあると思う.


ついでだが大事な話

前からいつ話そうかと気になっていたのだが,ここで説明しておくのがちょうどいいだろう.

上では分かり易いようにと思って,δI/δp=0δI/δq=0という 2 つの条件を分けて書いたが,実はこれはδI=0という一つの式で言い表せてしまうのだ.

全微分の式を思い出してみるといいだろう.xyの関数f(x,y)の全微分は, 数式 と表せるが,df=0である条件はa=b=0である.ここで,a=∂f/∂x,b=∂f/∂yであった.これと似たようなことだ.

このことは以前にラグランジュ方程式を導いた時にも当てはまる.すなわち,変分原理は全て「δI=0」というシンプルなたった一つの式で書き表されてしまうことになるのだ

これでもこの数学表現の美しさに抵抗できるだろうか
さあ,変分原理に忠誠を誓うのだ



趣味の物理学書店

趣味で量子力学2の広告バナー