解析力学：運動方程式の変形

ラグランジュ方程式の導出

さあ,前置きなしに始めよう.ニュートンの運動方程式はと書ける.また,力はポテンシャルエネルギー V(x,y,z) を使ってと書ける.摩擦力などが働く場合はこのようには書けないが,今回は書ける場合だけを考える.それはエネルギーが保存する場合であり,力がこのように一価の関数を使って表せる時,これを「保存力」と呼ぶのである.このイメージが分からない人は,電磁気学の静電ポテンシャルと同じなので,その説明を参考にするといいだろう.

また m d^2x/dt^2 の部分は運動量の１階微分として次のように表すことができる. 以上のことを総合すると,ニュートンの運動方程式は,保存力を扱う場合にはと表現しても差し支えない.これは成分に分けて書けば, であるということである.この 3 つは同じ形なのでわざわざ,,の 3 通り書くのは煩わしい.そこで,添え字を使って,これに 1,2,3 の数字を入れることで,,,を表現することにしよう.座標 (x,y,z) については $(x_{1},x_{2},x_{3})$ のように書くことにする.こうすれば次のような式を 1 行書くだけで上の 3 つ分の式を表せることになる. さてこの式の右辺はエネルギーを使って表せているので,左辺もエネルギーを使って表せないか考えてみよう.運動エネルギーはと書けるのであった.これを v_i で偏微分してやれば, となるので,先ほどの式に代入してやれば, という形式になる.これはもっと簡単にならないだろうか？そのためにという新たな量を定義してこれを「ラグランジアン」と名付けよう.すると上の式はやらやらがない形式で書けることになる. 偏微分というのは関数内にあからさまに含まれている変数だけで微分してやればいいのでこういう事が言えるわけだ.この式が「オイラー・ラグランジュの方程式」である.略して「ラグランジュ方程式」と呼んでも構わない.本当は「ラグランジュ方程式」という名前の方程式は別にあるのだが,少し違うだけなので特に区別しなくてよい.区別したいときにだけ正式名称を使ってやればいいのだ.