n 次元球の体積

誰がこんなアイデアを思い付くんだろう?

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何をしたいか

 \( n \)次元球の体積というのは、分かりやすく言えば、\( n \)次元空間の中で、原点から距離\( r \)のところ以内にある領域の広さのことである。

 3 次元球と言えば、それは普通の球のことで、その体積は\( \frac{4}{3}\pi r^3 \)である。2 次元球と言えば、円のことで、その体積は・・・と言うのも変だな・・・それは円の面積\( \pi r^2 \)のことである。

 では\( n \)次元球の体積\( V_n \)はどのような式で表せるだろうか?とりあえず、\( V_n = c_n r^n \)という形になることだけは想像が付く。\( c_n \)は何らかの定数だ。今回はそれを求めてみよう。

 こんな知識がなぜ必要になるかは、統計力学のメインの解説の方を読んでもらいたい。あるところで突然今回の結果を使いたくなるのだ。


予備知識

 誰がこんな面白い方法を思い付いたのだろう、と思えるほど、裏技的なやり方である。

 その為に、まず、次のようなことを確認しておきたい。\( n \)次元球の表面積\( S_n \)は、\( n \)次元球の体積\( V_n \)を半径\( r \)で微分することで導かれる。

\[ \begin{align*} S_n\ =\ \dif{V_n}{r}\ =\ \dif{(c_n r^n)}{r}\ =\ n\, c_n\, r^{n-1} \end{align*} \]
 なぜなら、\( V_n \)を微分するというのは、半径を\( \diff r \)だけ変化させたときの\( V_n \)の変化率を求めることに他ならない。半径を\( \diff r \)だけ変化させると、体積は表面積\( S_n \)に厚み\( \diff r \)を掛けた分だけ変化するのだから、変化率は\( S_n \)だというわけだ。

 では本題に入ろう。


あとは一気に行く

 まず、次のような\( n \)重積分を用意する。
\[ \begin{align*} I_n\ =\ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2) } \diff x\sub{1} \diff x\sub{2} \cdots \diff x\sub{n} \end{align*} \]
 これは球の体積とは全く関係のない計算なので、意味はあまり気にしなくてもいい。これは次のように変形して解くことができる。
\[ \begin{align*} I_n\ &=\ \left[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \diff x \right]^n \\ &=\ \left[ 2 \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \diff x \right]^n \\ &=\ \pi^{\frac{n}{2}} \tag{1} \end{align*} \]
 最後のところで「良く使う積分公式」の中で説明した (1) 式を利用した。

 ところがこの\( I_n \)はこれ以外の方法でも解くことができるのである。\( n \)個の変数\( (x_1, x_2, \cdots, x_n ) \)\( n \)次元のデカルト座標と見て、これを極座標に変換して解くのである。面倒な座標変換の式を具体的に知っている必要はない。ただ、

\[ \begin{align*} r^2\ =\ x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \end{align*} \]
であることを使えば、被積分関数は\( r \)のみの関数になることが分かる。\( r \)以外の残りの変数というのは全て角度に関するものであるが、これらだけ先に積分してしまうことができるというわけだ。それの結果は球の表面積を表すものとなる。

 なぜなら、\( I_n \)というのは\( n \)次元空間の全域についての積分であり、極座標に変換した今となっては、\( r \)を変化させながら全空間を塗りつぶしていくようなイメージになっているからである。表面積\( S_n \)\( \diff r \)を掛けたものを塗り重ねて行くというイメージだ。

 それで次のような式に変形できるであろう。

\[ \begin{align*} I_n\ &=\ \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} S_n \diff r \\ &=\ \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} n\, c_n\, r^{n-1} \diff r \\ &=\ n\,c_n \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r^{n-1} \diff r \end{align*} \]
 ここで\( t = r^2 \)という変数変換を行ってやる。
\[ \begin{align*} &=\ n\,c_n \int_{0}^{\infty} e^{-t}\, t^{\frac{n-1}{2}} \left(\frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}} \right) \diff t \\ &=\ \frac{n}{2} c_n \int_{0}^{\infty} e^{-t}\, t^{\frac{n}{2}-1} \diff t \end{align*} \]
 すると、この積分のところは前回の記事でやったガンマ関数の定義に似た形になっている。それはこういうものだった。
\[ \begin{align*} \Gamma(x)\ \equiv\ \int^\infty_0 e^{-t}\, t^{x-1} \diff t \end{align*} \]
 つまり、
\[ \begin{align*} I_n\ &=\ \frac{n}{2} c_n \Gamma\left(\frac{n}{2}\right) \\ &=\ c_n \Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right) \tag{2} \end{align*} \]
だというわけだ。

 さて、(1) 式と (2) 式は全く同じものを二通りのやり方で計算したものなので、当然等しいはずだ。それで、次のことが言えるだろう。

\[ \begin{align*} c_n \ =\ \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} \end{align*} \]
 つまり、\( n \)次元球の体積は、
\[ \begin{align*} V_n\ =\ \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} r^n \end{align*} \]
と表せるというわけである。