相互作用項を全パターン調べる

場の演算子の上にいちいち「^」記号を付けるのはもうやめました。

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電磁場は自己相互作用を起こさないのか?

 相互作用項としてどんな形があり得るのかを全パターン書き出してみたい。前回の話では、実スカラー場の場合には自己相互作用が起こるということだった。電磁場や電子場では同じようなことが起きたりはしないのだろうか?その可能性を探るために、まずは電磁場だけを使ってどんなパターンが作れるかを考えてみる。

 パラメータの質量次元を数えないようにして質量次元で分類してみよう。パラメータは後で付ければいいだけだからとりあえず入れない方が分かりやすい。

 まず、質量次元 1 には該当なしだ。\( A^\mu \)というのは何かとペアを作らないとスカラーにはなれない。質量次元 2 でそれが可能になる。同じ理由で質量次元 3 も該当なしである。質量次元 4 になると急に可能なバリエーションが増える。

 1  該当なし
 2  \( \partial_\mu A^\mu \ \ ,\ \ A_\mu A^\mu \)
 3  該当なし
 4  \( \partial_\mu A^\mu \partial_\nu A^\nu \ \ ,\ \ \partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu \)
 \( \partial_\mu A^\nu \partial_\nu A^\mu \ \ ,\ \ \cdots \)

 まだ全てのパターンを書き尽くしていないが、とりあえず上に書いたものについて一つ一つ見ていこう。最初の\( \partial_\mu A^\mu \)は使えない。その理由はラグランジュ方程式に代入して結果を見てみるのが手っ取り早い。消えてしまうのである。次の\( A_\mu A^\mu \)はプロカ場のところで使ったのと同じである。質量のあるベクトル場を表すのに使えるのだった。相互作用を起こすような項ではない。

 質量次元 4 のところのぱっと見では区別のつかない 3 つについても見ていこう。最初の\( \partial_\mu A^\mu \partial_\nu A^\nu \)は、私が初めにマクスウェル方程式を表すラグランジュ密度を作ろうとしたときに使ったものと同じである。これは結局、ゲージ変換の対称性が表現できないからという理由で捨てられたのだった。その次の\( \partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu \)\( \partial_\mu A^\nu \partial_\nu A^\mu \)は自由場のマクスウェル方程式を表すために使われているものである。

 ここまではすでに出会ってきたようなものばかりで、自己相互作用を起こしそうなパターンはない。

 なぜ一気に全パターンを書き出さなかったかというと、組み合わせは思っていたよりずっと多いのではないかと心配になったからである。じっくり考え直してみよう。
 実は一旦全部書き出したつもりでここまで書いてみたのだが、その途中で気付いてなかったパターンを次々と発見してしまったので、方針を変えて書き直したのである。
 質量次元が 4 だということは、\( \partial \)\( A \)を合計 4 つ使うということである。しかし\( \partial \)の後には必ず一つ以上の\( A \)がなければならないという条件がある。それを書き上げると次のようになる。
\[ \begin{align*} &AAAA \\ &\partial (AAA) \\ &A \partial (AA) \\ &AA \partial A \\ &\partial \partial (AA) \\ &\partial A \partial A \\ &A \partial \partial A \\ &\partial \partial \partial A \end{align*} \]
 ところが上から 2 番目や 3 番目はカッコを展開してやると 4 番目のパターンに一致してくれる。5 番目も展開してやると 6 番目や 7 番目と同じパターンになってくれる。そこで、考慮すべきパターンとしては次のようなものが残る。
\[ \begin{align*} &AAAA \\ &AA \partial A \\ &\partial A \partial A \\ &A \partial \partial A \\ &\partial \partial \partial A \end{align*} \]
 先ほど検証したのはこの 3 番目の\( \partial A \partial A \)というパターンだけだったというわけだ。残りのパターンにもテンソルの添え字を付けてやると、まだ検証していないパターンが 6 つも残っている。見落としがないか自信がないのだが、読者が検証できるように書いておこう。
\[ \begin{align*} &A_\mu A^\mu A_\nu A^\nu \ =\ (A_\mu A^\mu)^2 \\ &A_\mu A^\mu \partial_\nu A^\nu \\ &A_\mu A^\nu \partial_\nu A^\mu \\ &A_\mu \partial_\nu \partial^\nu A^\mu \\ &A_\mu \partial^\mu \partial_\nu A^\nu \\ &\partial_\mu \partial^\mu \partial_\nu A^\nu \end{align*} \]
 2 階微分や 3 階微分を含んだようなものも入っている。ここで新たな疑問が出てくる。ラグランジュ方程式というのはラグランジアン密度に場の 1 階微分までしか含まないという仮定で変分原理を使って得られたものであった。もっと高階の微分を含むことを許せば違う形の方程式が得られるだろう。ラグランジアン密度に 2 階以上の微分を含んではいけないという理由は何だっただろうか?

 エネルギー的に問題が出てくるのだという意見もあるし、むしろそれを利用した理論もあるようである。手に負えなくなってきてしまった。自己相互作用を起こすような項は一つもないのだという結論に簡単に飛びつけるかと期待して試してみたのだが、面倒くさくなってきてしまったので他の項の検証もしたくない気分である。また余裕が出来てきたらゆっくり確かめることにしよう。今はもっと先の方の記事をさっさと書いておきたくて焦っているのである。


スピノル場は自己相互作用を起こさないのか?

 スピノル場はもっと楽なのである。スピノル場は二つ合わさって質量次元が 3 になるので、考えられるパターンは非常に少ない。

 1  該当なし
 2  該当なし
 3  \( \bar{\psi} \psi \)
 4  \( \bar{\psi} \gamma^\mu \, \partial_\mu \psi \ \ ,\ \ \partial_\mu \bar{\psi} \gamma^\mu \psi \ \ ,\ \ \partial_\mu(\bar{\psi} \gamma^\mu \psi) \)

 この中で\( \bar{\psi} \psi \)\( \bar{\psi} \gamma^\mu \, \partial_\mu \psi \)は自由場を表すときにすでに使われている。残り 2 つにはどういう意味があるのだろうか?

 まず\( \partial_\mu(\bar{\psi} \gamma^\mu \psi) \)の方から説明しよう。これをラグランジアン密度に入れてみたとする。作用\( I \)はラグランジアン密度の積分であったから次のように表される。
\[ \begin{align*} I \ =\ \tint \!\!\! \int \partial_\mu(\bar{\psi} \gamma^\mu \psi) \diff x \diff y \diff z \diff t \tag{1} \end{align*} \]
 ここで電磁気学でもお世話になったガウスの定理というのを思い出そう。次のような形式をしていた。
\[ \begin{align*} \int \Div \Vec{A} \diff V \ =\ \int \Vec{A} \cdot \Vec{n} \diff S \end{align*} \]
 これを 4 次元に素直に拡張してやると次のようになる。
\[ \begin{align*} \int \partial_\mu A^\mu \diff V \ =\ \int A^\mu n_\mu \diff S \tag{2} \end{align*} \]
 この (2) 式での\( \diff V \)は 4 次元体積の意味で、\( \diff S \)はその表面積分である。\( n_\mu \)はその表面の法線ベクトルのそれぞれの成分を意味している。すると (1) 式というのはまさに (2) 式の左辺と同じ形式をしているので次のように変形できることになる。
\[ \begin{align*} I \ =\ \int (\bar{\psi} \gamma^\mu \psi) n_\mu \diff S \end{align*} \]
 ここで作用\( I \)の変分\( \delta I \)を考えると
\[ \begin{align*} \delta I \ =\ \int (\delta \bar{\psi} \gamma^\mu \psi + \bar{\psi} \gamma^\mu \delta \psi) n_\mu \diff S \end{align*} \]
のように表されることになるが、\( \psi \)やその変分\( \delta \psi \)には時空の無限遠で 0 であるという境界条件が付いているので、時空の無限遠の表面での積分をする間ずっとこの積分の中身は 0 のままであって、積分結果としては何も残らないのである。つまりこの項は何の意味ももたらさないということだ。場の理論の教科書で「これは全微分項なので~」とか「表面項なので~」という表現が出てきたら、この論理が使われていることを疑ってみると良いだろう。

 残ったのは\( \partial_\mu \bar{\psi} \gamma^\mu \psi \)である。消えてしまうことを説明したばかりの\( \partial_\mu(\bar{\psi} \gamma^\mu \psi) \)を展開すると次のようになる。
\[ \begin{align*} \partial_\mu(\bar{\psi} \gamma^\mu \psi) \ =\ \bar{\psi} \gamma^\mu \, \partial_\mu \psi \ +\ \partial_\mu \bar{\psi} \gamma^\mu \psi \end{align*} \]
 つまり、ラグランジアン密度に\( \partial_\mu \bar{\psi} \gamma^\mu \psi \)を入れたとしても、この関係を使って
\[ \begin{align*} \partial_\mu \bar{\psi} \gamma^\mu \psi \ =\ \partial_\mu(\bar{\psi} \gamma^\mu \psi) \ -\ \bar{\psi} \gamma^\mu \, \partial_\mu \psi \end{align*} \]
のような書き換えが可能であり、右辺の第 1 項は先ほどの論理によって消えてしまうので、結局は\( -\bar{\psi} \gamma^\mu \, \partial_\mu \psi \)を使ったのと同じ結果しかもたらさないと言えるのである。
 実は先ほどのベクトル場のパターンを減らす場面でもこの論理が背景にあるのだが、ややこしすぎるので適当にごまかしているのである。
 さて、話が長くなってしまったが、スピノル場は単独で自己相互作用を起こせるほどのバリエーションを持っていない。\( \psi \)\( \bar{\psi} \)はそれぞれ縦ベクトルと横ベクトルのような形式で表される 4 成分を持った量であり、必ず\( \psi \)\( \bar{\psi} \)を組み合わせなくては単独の実数を作れないから、それだけですでに質量次元が 3 である。あとはベクトル場\( A^\mu \)やスカラー場\( \phi \)と組むしか選択肢がないのである。

 ベクトル場と組むには添字が必要なので、\( \psi \)\( \bar{\psi} \)の間に無次元の 4 次の行列\( \gamma^\mu \)を挟んでうまくやっているのが、前回も出てきた、電子場と電磁場の相互作用項である。
\[ \begin{align*} \mathcal{L}_I \ =\ e \, \bar{\psi} \gamma_\mu \psi\, A^\mu \end{align*} \]
 スカラー場と組むにはそのようなことは必要がないが、\( \psi \)\( \bar{\psi} \)の間に何らかの無次元の 4 次の行列\( \Gamma \)を挟むようなバリエーションは許されているので次のような形に書ける。
\[ \begin{align*} \mathcal{L}_I \ =\ g \, \bar{\psi} \Gamma \psi\, \phi \end{align*} \]
 これは具体的には\( \pi \)中間子の場\( \phi \)を仲介して核子\( \psi \)どうしの間に働く相互作用を表しており、「湯川相互作用」と呼ばれている。\( \Gamma \)の部分は単位行列だったり、\( i\gamma\sub{5} \)だったりする。\( \gamma\sub{5} \)についてはまだ話していないが、次のようなものである。
\[ \begin{align*} \gamma\sub{5} \ =\ i\,\gamma\sup{0}\gamma\sup{1}\gamma\sup{2}\gamma\sup{3} \end{align*} \]
 電荷を持つ\( \pi \)中間子の場合には複素スカラー場\( \phi \)を使うのだが、ラグランジアン密度が実数になるように
\[ \begin{align*} \mathcal{L}_I \ =\ g \, \bar{\psi} \Gamma \psi\, (\phi+\phi^\dagger) \end{align*} \]
のような形にするのだと思う。しかしこれをはっきり書いてある書物が見付けられなくて自信がない。
 核力をパイ中間子で説明するのはもう古臭い試みであるから最近の教科書には載っていないようだし、古い論文を漁る気にもなれなかった。
 とにかくこのような情況であり、考え得る相互作用の形はだいたい絞られてきてしまうのである。


スカラー場も全パターン調べ直してみる

 ここまで考えてみると、スカラー場の可能性についても前回の調べ方は甘かった気がする。表にして調べ上げてみよう。\( \phi \)は添字の付くことがないスカラーなので\( \partial_\mu \)\( \partial^\mu \)で対を作るしか無いというところがベクトル場との違いである。

 1  \( \phi \)
 2  \( \phi^2 \)
 3  \( \phi^3 \ \ \ ,\ \ \ \partial_\mu \partial^\mu \phi \)
 4  \( \phi^4 \ \ \ ,\ \ \ \partial_\mu \partial^\mu \phi^2 \ \ \ ,\ \ \ \partial_\mu \phi \, \partial^\mu \phi \ \ \ ,\ \ \ \phi \, \partial_\mu \partial^\mu \phi \)

 やはり、前回の話で登場しなかったものが 3 つも残っていた。しかし安心していい。どれも不適格である。

 その 3 つはどれも場の 2 階微分を含んでしまっている。ここまでに使ってきたラグランジュ方程式は場の 1 階微分までしか想定していなかったから作り直して考えるべきだろうか?実はそこまでする必要がない。

 \( \partial_\mu \partial^\mu \phi \)\( \partial_\mu \partial^\mu \phi^2 \)はどちらも全微分項になっているので、先ほどの理屈によって消えてしまうのである。これには少し補足が必要で、ラグランジアン密度に 2 階微分まで含ませて考えるときには変分の 1 階微分も無限遠で 0 になるという境界条件を課してやらないといけなくなる。それで同じ理屈が使えるようになるのである。
 この理屈を使えば、さっき未検証で放り出したベクトル場の 3 階微分についても全微分項だから消えると言ってしまえそうだなぁ。
 残る一つは\( \phi \, \partial_\mu \partial^\mu \phi \)というものであるが、
\[ \begin{align*} \partial_\mu \partial^\mu \phi^2 \ &=\ \partial_\mu( 2\phi \, \partial^\mu \phi) \\[3pt] &=\ 2 \partial_\mu \phi \, \partial^\mu \phi \ +\ 2 \phi \, \partial_\mu \partial^\mu \phi \end{align*} \]
のように変形すると右辺の第 2 項にこれが出てくる。左辺の形は全微分項だから消えてしまうのだった。ということは右辺の 2 つの項は互いに符号が違うだけで同じ意味を持つということになる。第 1 項の\( \partial_\mu \phi \, \partial^\mu \phi \)はすでに使われているので、第 2 項の形をわざわざ取り入れる必要がないのである。


もう少し頑張って電磁場も調べ尽くせ

 スピノル場とスカラー場については全て調べたのだから、先ほど放置した残りの 6 パターンについて調べれば全部終わりである。奮起して調べ抜こうではないか!

 まず最初の\( (A_\mu A^\nu)^2 \)であるが、これはゲージ変換に対して不変ではないであろう。試してみるとかなりごちゃごちゃするが、致命的なのは\( (\partial_\mu \chi \partial^\mu \chi)^2 \)という項が出現してしまうことである。\( A^\mu \)ばかりの 4 つの積なのでこうなるのだが、他の項でこれを打ち消すことが出来ない。

 次はどれを相手にしようか? 簡単なところから攻めていこう。最後の\( \partial_\mu \partial^\mu \partial_\nu A^\nu \)は 3 階微分である。たとえラグランジアン密度として 3 階微分を含むことを許したとしても、この項は全微分項なので意味を持たないことになる。

 これで残りは 4 パターンになった。1 階微分を含む 2 パターンと、2 階微分を含む 2 パターンだ。

 まずは簡単そうな 1 階微分の方から進めよう。全微分項の話をうまく利用できないだろうか? 最初の方で却下してしまったが、1 階微分の全微分項と言えば\( \partial_\mu(A^\mu A_\nu A^\nu ) \)という形しか作れないであろう。これを展開してやると次のようになる。
\[ \begin{align*} \partial_\mu(A^\mu A_\nu A^\nu ) \ =\ A_\mu A^\mu \partial_\nu A^\nu \ +\ 2 \, A_\mu A^\nu \partial_\nu A^\mu \end{align*} \]
 本当は 3 つの項が出てくるのだが、添字の上げ下げのトリックを使ってまとめたり、今の話に都合の良いように添字を付け替えたりしている。右辺には今問題になっている 2 つのパターンが両方とも現れた。左辺は結局は 0 になるのだからこの右辺の 2 つのパターンは実は等価であってどちらか一方を否定できれば両方とも否定できるであろう。

 これらもゲージ変換の不変性を保てないという理由で却下できそうである。二つの\( A \)と一つの\( \partial A \)の積からは\( \partial \chi \partial \chi \partial \partial \chi \)という形の項が出てくるが、これを打ち消せる相手が他に存在していないからである。

 これで残りはあと 2 つ。2 階微分を含む 2 パターンである。これも全微分項をうまく使って何とかならないだろうか?2 階微分の全微分項と言えば\( \partial \partial(AA) \)という形である。ところがこれに添字を割り当ててやると、\( \partial_\mu \partial^\mu (A_\nu A^\nu) \)\( \partial_\mu \partial_\nu (A^\mu A^\nu) \)という二つのパターンが考えられる。仕方ないからどちらも試してみよう。まず一つめは次のようになる。
\[ \begin{align*} \partial_\mu \partial^\mu (A_\nu A^\nu) \ =\ 2\,\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu \ +\ 2\,A_\mu \partial_\nu \partial^\nu A^\mu \end{align*} \]
 右辺にはすでに合格している項と、今調べようとしている項のうちの一つが出てきた。これらは姿は違っていても等価な項だったのである! よってわざわざ使う必要がない。

 もう一つも試してみると次のようになる。
\[ \begin{align*} \partial_\mu \partial_\nu (A^\mu A^\nu) \ =\ 2\,\partial_\mu A^\nu \partial_\nu A^\mu \ +\ 2\,A_\mu \partial^\mu \partial_\nu A^\nu \end{align*} \]
 これもすでに合格している項と、残った一つの項の形になった。つまり、使う必要がなかったのだ。

 これで全パターンを調べ上げたことになる。自己相互作用を起こしそうなパターンは存在していなかった。


世界の構造にちょっと気付き始める

 我々は最初のうちは「マクスウェル方程式やクライン・ゴルドン方程式やディラック方程式をうまく再現してくれるようなラグランジアン密度を探すぞ!」という方向で意気込んで進んでいたのだった。ところがラグランジアン密度が満たすべき対称性を考えるだけで項の形がある程度絞られてしまい、相互作用の形が限定されるどころか、自由場を実現するような項も勝手に生き残って浮き出てくるのだった。

 すると、波動方程式というものは、宇宙に何らかの対称性があるという事実だけによって必然的に生じてしまうものだと言えるのではなかろうか。

 この宇宙にある全ての粒子の存在、動き、相互作用、それらの結果として形作られている身の回りの全てが、対称性の反映……だと?