流儀が多すぎる!

もう少し流行りそうな分類名を付けたかった。

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この混乱を何とかしてくれ!

 場の理論には様々な流儀が存在する。ほとんど教科書ごとに違うのではないかと思うほどだ。場の理論の全体像を一度理解してしまえばこれらの違いは大したことがないと分かるのだが、右も左も分からない初学者には大変な障害となる。一つの教科書につまづいて、参考のために他の教科書を開くと、そこにはそれまでと全く違って見える式が並んでいるのだ。

これでは答え合わせもできやしない!

 アドバイスとしては「場の演算子に付いている係数は気にするな」「不変散乱振幅を求めるのが目的なのだから、最終的にはそこだけ合っていれば問題ない」などと言ってあげたいところだが、初学者にとっては自分が計算した結果のどの部分が不変散乱振幅だと判断して良いかというのがまだ分からないのだからこんなものは頼りにならないアドバイスだ。

 さて、一体どれくらいの流儀があって、それぞれの流儀にはどういう理由があるのだろうか。というのを自分である程度調べ上げてみたのだが、その後になってそれよりもずっと詳しくまとめてくれてある教科書を見つけた。ちょっと悔しい。

・『相対論的量子場~演算子の基礎的性質(改訂版)』 日置善郎

 巻末の付録の3番目で、しかも「ディラック場演算子の規格化」というお堅い見出しだから長い間気付かなかった。こういうのは本文中に持ってきてもいいくらいやで~~?

 その付録ではそれぞれの流儀に仮の名前まで付けてくれてある。

・共変的規格化
・Bjorken-Drell形式
・Itzykson-Zuber形式
・Peskin-Schroeder形式

 有名な教科書の著者名を使った命名のようだ。状況がやたら複雑に見えていたけれど、まとめてみればたったの 4 つなのか、と少し安心である。ところが、良く見るとこれは見出しの通り「ディラック場」についての話だけだったのである。

 「スカラー場とベクトル場」と「スピノル場(ディラック場)」とで、係数の付け方がこれまた少し違うのである。これらの係数を同じに合わせておこうとする流儀と、そうでない流儀が混在している。

 さらに言えば、有限体積で議論する流儀と、無限大の体積で議論する流儀もある。

 非相対論的な場の理論まで範囲に含めると、さらに違ったものも現れる。

 全てを追いかけて名前を付けると大変なことになりそうなので、なぜこんなことになっているのかという気持ちをおおまかに説明することにしよう。


主要な 4 つの流儀

 まず、次の 4 派が存在すると考えてほしい。

(1) 「生成消滅演算子の交換関係」の式をシンプルにしたい派
(2) 「場の演算子」の式をシンプルにしたい派
(3) 「相対論的に式の形が変わらない」形式でまとめておきたい派
(4) 「何やら意図がまったく分からん」派

 一番最初の「生成消滅演算子」派が信奉するのは次のようなすっきりした交換関係の式である。
\[ \begin{align*} \big[ \hat{a}(\Vec{k})\,,\ \hat{a}^\dagger(\Vec{k}') \big] \ =\ \delta(\Vec{k}-\Vec{k}') \end{align*} \]
 これを使った結果として場の演算子は次のようなちょっと意味の分かりにくい形になる。
\[ \begin{align*} \hat{\phi}(\Vec{x},t) \ =\ \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \sqrt{\frac{1}{(2\pi)^3 2 \omega}} \left( \hat{a}(\Vec{k}) \, e^{-ikx} \ +\ \hat{a}^{\dagger}(\Vec{k}) \, e^{ikx} \right) \right] \diff \Vec{k} \end{align*} \]
 これを見て場の演算子の物理的意味を読み取ろうとするのはやめたほうが良い。

 次を見てみよう。二番目の「場の演算子」派にとってのシンプルな式というのはそれこそ幾つかの流儀があるが、「場の演算子というのは生成消滅演算子をフーリエ変換したものだ」という解釈を前面に出したいという動機が主だったりするので次の形にしていることが多い。
\[ \begin{align*} \hat{\phi}(\Vec{x},t) \ =\ \frac{1}{(2\pi)^3} \int_{-\infty}^{\infty} \left( \hat{a}(\Vec{k}) \, e^{-ikx} \ +\ \hat{a}^{\dagger}(\Vec{k}) \, e^{ikx} \right) \diff \Vec{k} \end{align*} \]
 いかにもフーリエ変換である。つまり、「場の演算子とは、位置\( \Vec{x} \)に粒子を 1 個出現させる演算子である」という見方をする。異なる運動量を持つ多数の粒子の均等な重ね合わせを意味しているのだから、そういう解釈ができそうだ。しかし消滅演算子も一緒になっているのはどういうことだよ?とツッコミたくなる。(重ね合わせと言っても、それぞれの運動量の粒子は 1 個、2 個、……という離散的な値なので、この考えを発展させてフーリエ変換のように自由にどんな状況でも表せるというわけでもなさそうである。とは言っても今はそこまで考える必要はないので無用な心配だ。)
 かつての私は場の理論の表玄関から入ることを拒否していたので、 この式を解釈することで場の理論がやっていることの意味を探れるのではないかと強く信じてしまい、何年もの間、裏口を探して泥沼を彷徨った。 このようなフーリエ変換的な解釈を前面に押し出して説明している教科書がある一方で、 先ほどのようにこれとは全く異なる形の式が書かれている教科書もあり、統一的なイメージを作ることに失敗したのである。
 この流儀が使われているのは、非相対論的な場の理論の教科書や、場の理論そのものよりも応用的な物理現象の解説を重視した教科書、あるいは場の理論のイメージだけをかいつまんで説明しようとする超初心者向けの(読み物的な)教科書であることが多い。そして、理論そのものの整合性はあまり考慮されていない。この流儀での交換関係の式は
\[ \begin{align*} \big[ \hat{a}(\Vec{k})\,,\ \hat{a}^\dagger(\Vec{k}') \big] \ =\ \frac{(2\pi)^3}{2\omega} \delta(\Vec{k}-\Vec{k}') \end{align*} \]
とならなければいけないはずだが、この形のものを私は見たことがない。第 1 の流儀と同じシンプルな形の式が載っていたりする。それで理論の辻褄が合うのだろうかと心配になるのだが、思い付くままに一通り食い散らかすような説明になっており、あまり話が繋がっていないのである。
 遠回りに思えるけど相対論的な場の理論を一通り学んでから非相対論的な場の理論を学んだ方がいいですよ、とネットで助言を受けたことがあるのだが、 なるほど、その通りだと思える。 分かっている人が読めば細かいことはあまり気にならないのだが、初学者がそういう教科書で学ぼうとしても途中がつながらないのである。 とは言っても、初学者にはどれが相対論的でどれが非相対論的なのかの判断が付かないのである。 しかも非相対論的な場の理論の全てがこのような問題を抱えているというわけでもない。 分からないと思った教科書はあまり気にせず後回しにすべきである。
 場の演算子には生成演算子と消滅演算子の両方が含まれているが、片方だけを使った場の演算子というものが出てくる教科書もある。
\[ \begin{align*} \hat{\phi}(\Vec{x},t) \ =\ \frac{1}{(2\pi)^3} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{a}(\Vec{k}) \, e^{-ikx} \diff \Vec{k} \\[3pt] \hat{\phi}^\dagger(\Vec{x},t) \ =\ \frac{1}{(2\pi)^3} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{a}^{\dagger}(\Vec{k}) \, e^{ikx} \diff \Vec{k} \end{align*} \]
 ますますフーリエ変換のイメージである。非相対論的な場の理論では理論上の制約が緩やかなため、このような形の理論で色々な現象を説明できたりもする。
 このように 2 つの部分に分けることは他の流儀の教科書でも見られるので、 非相対論的な場の理論に限ったことではないのかも知れないが、その意図が私にはまだよく分からない。
 実はこの 2 番目の流儀の式というのは、ふとした拍子にあちこちで見かけたりはするのだが、一貫してその流儀を使って説明しているような厚みのある教科書というのが見当たらないのである。一瞬だけその式を見せておいて、あとは有限体積の場の理論で議論していたりするので流儀の一つとして挙げても良かったものかどうか、悩ましいところである。

 ちょっと話が長くなりすぎた。次へ行こう。

 三番目の「相対論こそを正しさの基準とする」流儀は「共変的規格化」と呼ばれている。前回の記事でやったように\( \diff \Vec{k}/(2\omega) \)がローレンツ変換に対して不変であることを使って、次のようにまとめる。
\[ \begin{align*} \hat{\phi}(\Vec{x},t) \ =\ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\diff\Vec{k}}{(2\pi)^3 2 \omega} \left( \hat{a}(\Vec{k}) \, e^{-ikx} \ +\ \hat{a}^{\dagger}(\Vec{k}) \, e^{ikx} \right) \end{align*} \]
 その代わりに、生成消滅演算子の交換関係は次のように面倒な形になる。
\[ \begin{align*} \big[ \hat{a}(\Vec{k})\,,\ \hat{a}^\dagger(\Vec{k}') \big] \ =\ (2\pi)^3 2\omega(\Vec{k}) \,\delta(\Vec{k}-\Vec{k}') \end{align*} \]
 この右辺がローレンツ変換に対して不変なのかどうか私の力量ではどうにも分からなかったし、そもそもこの交換関係もローレンツ不変であるべきことが意図されて使われているのかさえ分からない。それについて書いてある教科書を見付けることもできなかった。
 それくらいのことが自力で分からないようなやつは学ぶ資格なし、と言われている気がしてしまうのだよねぇ。 あとで何か分かったらこの部分を書き換えることにしよう。
 ひょっとしてこの交換関係の式の両辺は無次元なのだろうかと期待したが、そういうわけでもない。質量次元で考えると\( \omega \)の部分が 1 で、\( \delta(\Vec{k}-\Vec{k}') \)の部分が -3 であるから、全体として -2 であり、個々の生成消滅演算子自体が -1 の質量次元をもつことになっている。残念ながら生成消滅演算子に余計な物理的意味を持たせない流儀だとは言えないようだ。
 先ほども少し書いたが、かつての私はラグランジアンなどという抽象的なものを受け入れる気が全く無かったので、 何とかしてそれを避けたままで場の理論を攻略してやろうとしていたのだった。 一体どんな物理的解釈によって、どんな意味の計算をしているのかを解読してやろうとした。 そのときに必死に考えたのが、この右辺に 2ω が出てくる奇妙な交換関係だ。 ここから物理的な意味を探り出そうとして悩みまくり、結局うまく行かなかったのだった。 そう、この式には特に重要な物理的な意味などないのである。 数式をローレンツ不変な形で整理しようとしたしわ寄せが現れているだけなのだ。
 もちろん、この流儀の生成演算子で作った\( \hat{a}^\dagger(\Vec{k})\, \ket{0} \)という状態は「運動量\( \Vec{k} \)の粒子が個数密度が\( 2\omega \)で全宇宙に存在している状態である」という物理的解釈をしてやることはできる。しかしそれはこの流儀を選んだ場合に取らざるを得ない便宜上の解釈であって、現実の現象としてそういう状態が観察されるというようなものではなく、重要な意味を持たないのである。

 では最後のひとつについて考えてみよう。

 上記の 3 つについては何らかの意図を読み取ることができた。ところがこれらに挑戦するかのようなひねくれた流儀が存在している。場の演算子も交換関係も、どちらもシンプルにするつもりがないらしいのだ。
\[ \begin{align*} &\hat{\phi}(\Vec{x},t) \ =\ \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \frac{1}{(2\pi)^3 \sqrt{2 \omega}} \left( \hat{a}(\Vec{k}) \, e^{-ikx} \ +\ \hat{a}^{\dagger}(\Vec{k}) \, e^{ikx} \right) \right] \diff \Vec{k} \\[5pt] &\big[ \hat{a}(\Vec{k})\,,\ \hat{a}^\dagger(\Vec{k}') \big] \ =\ (2\pi)^3 \,\delta(\Vec{k}-\Vec{k}') \end{align*} \]
 なるほど、次元の辻褄は合っているから、こういう形式もありだろう。しかしこうすることに何の利点があるというのだろうか?

 ははあん! こうして書いてみて、今やっと分かった。この交換関係の物理的解釈をしてやると、単位体積あたりの粒子数がちょうど 1 になるではないか! 粒子密度を 1 にしてやりたかったのだ。


解説の途中ですが広告です


私の推理

 なぜこのように様々な流儀が存在しているかというと、場の理論には、試行錯誤と直観に頼って色々な現象を説明してきたという長い歴史があるからである。

 しかし無節操に増えすぎた理論に対して、やがて、一体どのやり方が正しいのかということが問題になり、相対論を満たす形式を重視することで理論の整理が進んだのだった。くりこみ理論やゲージ理論などへ向かうために、相対論的な制約を満たす形での理論の整備は大変に役に立った。理論家たちが相対論的な共変性にこだわった形で式をまとめたがるのはこのときの信頼感の影響であろう。

 一方で、相対論的にガチガチに固めてしまうと実用的でないという問題もあり、それを少し崩す形でまとめた教科書も現れた。あるいは、相対論をあまり気にしなくても良い分野では、旧来のやり方に最近のやり方を取り入れる形で、ゆっくりと説明の仕方が変化してきているようである。21世紀に入って教科書が増えてきているので、今まさに古い教え方が淘汰されるような変化が起きているという感じだろう。
 なぜそう思うかというと、20世紀の教科書は内容的には最近のものと大きく違わないが、 ところどころ不親切すぎて何を言っているかさっぱり話が繋がらなかったり、 細かいところにごまかしがあることが疑われるものが多いからである。
 流儀が多すぎるとは言っても、今ある教科書はどれも理論がかなり整備されたあとのものである。

 科学史を徹底的に調べたわけではないし、教科書の変遷を理解しているわけでもないので、とりあえず個人的な推理ということにしておいてほしい。


スピノル場のせいでさらに分派

 さて、これだけで済めば話は単純だったのだが、スピノル場を前にしてさらに分派が起きてしまう。なぜなら、スピノルどうしの積を作ったときに質量\( m \)やエネルギー\( \omega \)が出てくるからで、このままでは場の演算子に付く係数の形がスカラー場やベクトル場とは違ってきてしまうのである。

 それは当然と言えば当然である。スピノル場の場の演算子だけは、他とは物理的な次元が異なっている。普通に違いを受け入れるのが自然なのではなかろうか?

 そこで二通りの立場が現れる。場の演算子の形を統一しようとする立場と、そうでない立場である。場の演算子の形を統一するとは言っても、もちろん、スピノルが含まれる形にはなっている。余計な係数が場の演算子の式に現れるようにするか、そうでないかという話である。

 例えば共変的規格化の場合には次のようにスピノル\( u_{\alpha}(\Vec{k}) \)\( v_{\alpha}(\Vec{k}) \)を含む以外は大きな変化はない。
\[ \begin{align*} \hat{\psi}(\Vec{x},t) \ =\ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\diff\Vec{k}}{(2\pi)^3 2 \omega} \sum_{\alpha=1,2} \left( \hat{c}_{\alpha}(\Vec{k}) \, u_{\alpha}(\Vec{k}) \, e^{-ikx} \ +\ \hat{d}^{\dagger}_{\alpha}(\Vec{k}) \, v_{\alpha}(\Vec{k}) \, e^{ikx} \right) \end{align*} \]
 その代わりにスピノルの積を次のように定義してある。
\[ \begin{align*} &\bar{u}_i(\Vec{k}) \, u_j(\Vec{k}) \ =\ \ \ 2m \, \delta_{ij} \\ &\bar{v}_i(\Vec{k}) \, v_j(\Vec{k}) \ =\ - 2m \, \delta_{ij} \end{align*} \]
 こうしておけばスピノル自体が\( m^{1/2} \)の次元、つまり質量次元 1/2 を持つということになり、スピノル場の場の演算子の次元が 3/2 であることと矛盾しない。

 共変的規格化の流儀に限らず、他の流儀でもスピノルの積をこのように定義しておけば場の演算子が他と違う形になるのを防げるのである。

 ところが、スピノルの積の定義はやっぱりシンプルにしておきたいという流儀が出てくる。
\[ \begin{align*} &\bar{u}_i(\Vec{k}) \, u_j(\Vec{k}) \ =\ \ \ \delta_{ij} \\ &\bar{v}_i(\Vec{k}) \, v_j(\Vec{k}) \ =\ - \delta_{ij} \end{align*} \]
 このようにしたい場合、スピノル場だけは、場の演算子に\( \sqrt{2m} \)が余計に付くことになる。なるほど、意外に単純な話だ。

 ところが、場の演算子に\( \sqrt{2m} \)が余計に付くのは嫌だし、スピノルの積の定義もシンプルにしておきたいというわがままな流儀も存在する。そんなわがままを一体どうやって解決するかというと、交換関係に押し付けてしまうのである。スピノル場の生成消滅演算子の交換関係だけは右辺に\( 2m \)が余計に付くように定義してやればいい。


まとめ

 こうしてじっくり考えてみると、流儀が多すぎて混乱したように見える状況にもそれぞれに正当な主張があって、それほどデタラメではないことが分かってくる。

 名前を付け替えて整理しよう。

(1)「生成消滅演算子の交換関係をスッキリさせたい」派
(2)「場の理論のイメージを易しく伝えたい」派
(3)「相対論と仲良くしたい」派
(4)「1 粒子状態の解釈を単純化したい」派

 そしてそれぞれに次の分派が存在し得る。

(a)「場の演算子の形を統一したい」派
(b)「スピノルの積を単純化したい」派
(c)「どちらも欲しい」派

 分派はどれも存在し得るが、目的からして (3) は (a) と強く結び付くだろうし、(4) と (c) は特に相性が悪そうだ。

 私の解説は (1)-(b) である。

 今回の話では有限体積の流儀について全く調べていなくて申し訳ない。